Paradoxy a obtíže teorie množin

PARADOXY A POŽADAVKY TEORIE SOUBORŮ. Od 90. let. 19. století začíná širokou diskusi o paradoxech teorie množin. Kromě paradoxu Burali-Forti existuje paradox Russell, který odhaluje komplexní logickou podstatu konceptu nekonečné množiny. Když analyzoval Cantorovu teorii o stanovené míře, Russell označil koncept „souboru, který není sám sebou“. Například sada všech sad nebude taková, ale sada přirozených čísel bude. Nicméně, s ohledem na soubor všech souborů, které nejsou prvky sebe samých, nemůžeme se dále rozhodnout, zda bude mít majetek, aby nebyl jeho prvkem nebo ne. Obě odpovědi vedou ke sporům. Takové odrazy vedly Russella k výběru predikativních a nepředvídatelných vlastností souprav a konstrukci tzv. Tzv. Tzv. Tzv. Tzv. Tzv. Tzv. teorie typů, kterou vyvinul ve spolupráci s Whiteheadem. Jeden může také dát formulaci Banach – Tarski paradox, který, ačkoli ne přímo příbuzný teorii množin, ale charakterizuje matematiku, která vyplývá z této teorie. Paradox je formulován následovně: míč můžete rozdělit na konečný počet dílů, které lze přeskupit tak, že dostanete dvě míčky stejné velikosti jako původní míč.

Paradoxy a obtíže teorie množin
Paradoxy a obtíže teorie množin

Teorie množin se ukázala být přirozeným jazykem pro řešení problému aritmetiky kontinua, který stál po staletí. Ve 2. patře. 19. století bylo navrženo několik aritmetických konstrukcí reálných čísel (K. Weierstrass, R. Dedekind, G. Cantor). Síla výsledných numerických modelů kontinua se ukázala být rovna 2ℵ0. Cantor navrhl, že 2ℵ0 = ℵ1 – nejmenší z mocností, velká ℵ0 – síla množiny přirozených čísel: {1,2,3, …}. Toto tvrzení se nazývá hypotéza kontinua. Ale navzdory ohnivé víře Kantora v pravdu tohoto výsledku ani on, ani následní matematici nedokázali tuto skutečnost dokázat. Navíc, v roce 1963, P. Cohen dokázal, že hypotéza kontinua je nezávislá na axioms systému Zermelo – Fraenkel teorie množin. Jinými slovy, hypotéza kontinua nemůže být prokázána ani vyvrácena teoreticky, založené na tomto systému axiomů. Filozofickým významem těchto výsledků je, že pokud je síla kontinua rovna nějakému „Alefu“ (ne nutně č. 1, tj. Zobecněné hypotéze kontinua), pak je kontinuum „konstruováno z bodů“. Cohen sám věřil, že hypotéza kontinua není s největší pravděpodobností pravdivá, že kontinuum „je považováno za neuvěřitelně velké číslo, které nám bylo dáno nějakým odvážným novým axiomem a které nemůže být dosaženo žádným postupným procesem budování“ (Cohen P Teorie množin a hypotéza kontinua (Moskva, 1969, s. 282).

Teorie množin a hypotéza kontinua
Teorie množin a hypotéza kontinua

Dalším klasickým problémem teorie množin je axiom výběru. Je formulován následovně: je dána určitá, obecně řečeno, nekonečná množina množin. Je zde funkce, která sdružuje každou množinu s jedním z jejích prvků (volbou z každé sady prvků). I přes jednoduchost formulace axiomu volby je těžké si představit, jak by to mohlo být prokázáno.

volba axiomu je nezávislá na korpusu jiných axiomů teorie Zermelo - Fraenkelovy množiny
volba axiomu je nezávislá na korpusu jiných axiomů teorie Zermelo – Fraenkelovy množiny

Velký počet teorémů analýzy přitom závisí na tomto axiomu a v teorii teorie množin je důkazem základní věty Zermela o možnosti porovnat síly různých množin. Díky dílu Gödela (1939) a Cohena (1963) bylo prokázáno, že volba axiomu je nezávislá na korpusu jiných axiomů teorie Zermelo – Fraenkelovy množiny. Místo axiomu volby byly navrženy například alternativní axiomy. axiom determinismu.

B. H. Katasonov

Nová filosofická encyklopedie. Ve čtyřech svazcích. / Ústav filozofie RAS. Scientific Ed. Rada: V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G.Yu. Semigin. M., Thought, 2010, sv. I, A – D, str. 250